一。作者介绍
关于本书作者阿瑟·本杰明，由于百度和《12堂魔力数学课》一书中找不到相关介绍。我仅将了解到的信息与您分享，阿瑟·本杰明，TED演讲嘉宾、数学魔术师、许多数学科普畅销书的作者。下图为阿瑟·本杰明在一次TED上的演讲，超快的语速，敏捷的思维，速算能力惊艳全场。
二。内容介绍
全书一共12章，分别介绍了数字之舞，有魔法的代数学，神奇的数字"9",好吃又好玩的排列组合，超酷的斐波那契数列，永恒的数学定理，开脑洞的几何学，永不止步的π，用途多多的三角学，盒子外面的i 和e,快思慢想的微积分，比宇宙还大的无穷大。作者在序言中制定了阅读的若干规则，比如可以跳过不读的内容，可以略读的章节和段落，非读不可的章节等等。展示数字本身的神奇的魔力并挖掘神奇现象背后的奥秘。提到的上帝的方程式： 0、1算术的.基础， π几何学的重要数字， e是微积分中最重要的数字，i是-1的一个平方根。希望让所有喜欢数学和对数学有恐惧症的人都疯狂地爱上数学。
三。精彩分享
第1章数字之舞中作者提到了高斯求和：求出从1至100的所有数字的和。高斯把从1至100的所有数字分成两行，1至50按从小到大的顺序位于第一行，51至100按从大到小的顺序位于下面一行。高斯发现，每一列的两个数字的和都等于101,因此所有数字的总和就是50×101,等于5050.结合图形来表示这个过程。可以用小圆圈表示，这些小圆圈又可以排列成三角形，因此我们把这些数字称作"三角形数".如果把两个三角形并排放置，构成了一个矩形，每个三角形所包含的小圆圈数应该是矩形的1/2.
第2章神奇的代数学中作者提到如何快速计算两个略小于100的数的乘积以及背后的代数学恒等式。比如：96×97 = （100 – 4） （100 – 3）= （100×93） + （ – 4）×（ – 3） = 9 300 + 12 = 9 312
在实际应用时，我只看两个数字的末位数，在这个例子中是6 + 7,这表明与100相乘的那个数字的末位数是3,因此我知道这个数字必然是93.而且，在熟练掌握这个方法之后，我们就无须计算两个负数的乘积，而是直接取它们的正值，再求它们的乘积。在实践中，我们可以利用这个方法完成任意两个比较接近的数字的乘法运算。
第3章神奇的数字 "9"中作者提到了弃九法与加减乘除运算。()弃九法（casting out nines ）：将一个数各个数位上的数字相加并不断重复该步骤，直至得到一个一位数（digital roots）。弃九法有一个非常有趣的应用，可以用来检验加减乘除运算的得数是否正确。下面以乘法为例：相乘的两个数可以写成9x+5 和9y +6的形式，其中x是整数。（9x+5）（9y+6 ） =81xy+54x+45y+30=9（9xy+6x+5y）+30=9的倍数+（27+3）=9的倍数+3
第4章 好吃又好玩的排列组合中介绍了阶乘。作者认为n !的符号表示阶乘十分恰当，因为阶乘的增长速度非常快，而且有许多激动人心或令人惊讶的应用。如下所示：
000! = 1
001! = 1
002! = 2
003! = 6
004! = 24
005! = 120
006! = 720
007! = 5 040
008! = 40 320
020XX! = 362 880
010! = 3 628 800
011! = 39 916 800
012! = 479 001 600
013! = 6 227 020 800
这些数字到底有多大呢？据估计，全世界大约有10的22次方颗沙砾，整个宇宙大约有10的80次方个原子。一副扑克牌有52张（不含大小王），就有52! 种排列方式，因此你看到的那种排列可能前所未见。假设地球上的每个人每分钟洗一次牌，那么在接下来的100万年里，可能都无法再次看到之前的那种排列。
四。读后反思
1、知识越学越少。古人云，为学日益为道日损。学数学有时就是为道。比如
模运算：任意正整数m,如果a和b之间的差是m的整数倍，那么我们说果a和b对模m同余，记作a ≡ b （mod m）。利用模运算我们能解决被一些特殊数整除数的特征，大大节省大脑的工作内存。
2、心算应该值得推广。其实很多数学学业水平差的学生学习都很苦，不仅是解决问题，更是计算！计算！
3、教学要让孩子们看到学习数学的价值。真正的使用价值，而不是学习意义的说教：考试！升学！
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原文摘录
① 比较例子
事实上，在无穷数的世界里， 部分可能等于整体 ！
② 比较方法
这就是康托尔提出的比较两个“无穷数”的方法：我们可以对两组无穷数进行配对，每个**里的一个元素分别对应另一个**里的一个元素， 如果最后它们正好一一对应，任何一个**都没有多余的元素 ，那么这两个数的大小相等；
“无穷数学”的奠基者格奥尔格·康托尔提出，我们可以用希伯来字母 ? （ aleph）来描述无穷大的数字，字母右下方的角标代表该数字在无穷数列中的位置。
时至今日，理论数学几乎所有分支都已经成为科学家解释物理世界的工具，其中包括那些曾经被人们认为纯粹得没有任何实用价值的理论，例如群论、非交换代数和非欧几何。不过，哪怕是在今天，数学领域内仍有一套庞大的体系一直坚守着“ 无用 ”的高贵地位，它唯一的作用就是帮助人们锻炼智力，这样的超然绝对配得上“纯粹之王”的桂冠。这套体系就是所谓的“ 数论 ”（ 这里的“数”指的是整数 ），它是最 古老 、最 复杂 的理论数学思想之一。奇怪的是，尽管数论的确是最纯粹的数学，但从某个角度来说，它又是一门基于经验甚至实验的科学。
事实上，数论的绝大多数命题来自实践——人们尝试用数字去做各种事情，然后得到一些结果，由此形成理论。这样的过程和物理学别无二致，只不过物理学家尝试的对象是现实中的物体而非理论化的数字。数论和物理学还有一个相似之处： 它们的某些命题得到了“数学上”的证明，但另一些命题仍停留在经验主义的阶段 ，等待着最杰出的数学家去证明。
① 哥德巴赫猜想
所以我们直到现在都没能列出一个只能算出质数的通用公式。数论中还有一个既没被证明也没被证伪的有趣问题，人称“哥德巴赫猜想”（ Goldbach conjecture）。这个猜想是在 1742 年提出的，它宣称 任何一个偶数都能表示为两个质数之和 。[
② 质数平均分布定理
质数平均分布的定理是整个数学领域最重要的发现之一，它可以简单地表达为：在 1 到大于 1 的任意自然数 N 的区间内，质数所占的百分比约等于 N 的自然对数的倒数。 N 越大，这个式子得出的结果就越精确。
③ 费马大定理
费马在页边写了一条简短的笔记，他提出，方程 x2 + y2 = z2 有无穷多组整数解，但对于 xn + yn = zn 这样的方程[ 22]，如果 n 大于 2，那么该方程无解。
拉证明了方程 x3 + y3 = z3 和 x4 + y4 = z4 不可能有整数解；狄利克雷（ Dirichlet）又证明了 x5 + y5 = z5 没有整数解，再加上其他几位数学家的努力，目前我们已经确认，只要 n 小于 269，这个方程都没有整数解。
④ 虚数
人们从卡尔达诺使用的修饰词中挑了一个来给这样的数命名，所以现在它被称为“ 虚数 ”（ imaginary numbers）。自从虚数诞生以后，数学家开始越来越频繁地使用这个概念。
对于这样的数，也许我们只能说，它们不是零，但并不比零大，也不比零小，所以它们完全是虚构出来的数，或者说 不可能的数 。
以此类推，每个实数都有一个对应的虚数。你还能将实数和虚数结合到一个式子里，写成（略）这样的形式。卡尔达诺发明的这种混合表达式通常被称为 复数 。
直到两位业余数学家赋予了它简单的 几何意义 ，虚数才算得以正名。
我们习以为常的三维空间竟能和时间结合起来，形成一个 符合四维几何学的统一坐标系 。
略
① 介绍
没有对称平面 的物品可以归为两类—— 左手性 的和 右手性 的。
其中一种蜗牛壳上的螺纹是顺时针的，另一种则是逆时针的。就连构成所有物质的基本微粒（即所谓的“分子”）也常常有左旋和右旋两种不同的形式，比如说，糖就有左旋和右旋两种，不管你信不信，以糖为食的细菌也分为两种，每种细菌都只能吃对应手性的糖。
② 两者怎么转换
但是，如果你让一头驴离开平面，在空间中将它翻转 180 度，然后让它重新回到平面上，那么它会变得和另一头驴完全一样。以此类推，我们可以说，如果让右手套离开三维空间，在第四个维度中以某种合适的方式将它翻转，再让它重新回到我们的空间里，那么它也可以变成左手套。
而是所谓的“ 莫比乌斯面 ”。这种面的名字来自一百多年前首次研究它的一位德国数学家。制作莫比乌斯面非常简单：取一根长纸条，将它盘成一个环；再将纸条一端扭转 180 度，最后把两端粘起来。看看图 23，你就知道该怎么做了。莫比乌斯面有许多奇异的特性，其中一点很容易发现：取一把剪刀，沿着平行于莫比乌斯面边缘的方向完整地剪一圈（如图 23 箭头所示）。当然，按照你的预想，最终我们应该得到两个独立的环。但真正去做以后，你却会发现自己想错了：我们剪出来的不是两个环，而是一个大环，它的长度是原来那个环的两倍，但宽度只有原来的 1/2！
影子驴在莫比乌斯面上行走时会发生什么。这头驴子发现自己陷入了窘境，它不知为何变得四脚朝天了！当然，它可以翻个面，让自己重新站稳，但要是这样的话，它就变成了一头右侧驴。简而言之， 我们的“左侧”驴在莫比乌斯面上走一圈以后就变成了“右侧”驴。
在一个扭曲的面上，右手性物体只需通过扭曲处就能转换成左手性物体，反之亦然。莫比乌斯环实际代表着另一个更具普遍性的面的一部分，即 克莱因瓶 。
但只要再想想，你会发现第四维其实并不神秘。事实上，有一个词我们大部分人每天都会用到，它可以被视为，或者说实际上就是物理世界中的 第四个维度，这个词就是“时间” 。
用四维时空几何学的术语来说，代表每个独立的物质粒子的生命史的线被称为“世界线”。同样地，组成复合物体的一束世界线被称为“世界带”。
因此，如果能找到一种公认的标准速度，我们就能 用长度单位来描述时间跨度 。
通过“ 光年 ”这个术语，我们将时间化作了一个实用的维度，时间单位也因此成为一个可用于度量空间的单位。反过来说，我们也可以创造另一个术语“ 光英里 ”，用它来描述光行经 1 英里的距离所需的时间。利用上面介绍的光速值，我们可以算出 1 光英里等于 0. 0000054 秒 。
我们只需推广一下毕达哥拉斯定理，就能算出四维距离；要研究事件之间的物理关系， 四维距离 是一个比独立的空间间隔和时间间隔更基本的值。
空间和时间之间的差异就被彻底抹除了，这也意味着我们承认了空间可以转化为时间，反之亦然。
我们可以将 第四个坐标定义为一个纯虚数 。
既然我们认为空间距离永远是实数，而时间距离永远是纯虚数，那么或许可以说，实数的四维距离与普通空间距离的关系更为密切，而虚数四维距离与时间间隔的联系更紧密。用闵可夫斯基的术语来说，第一种四维距离叫作“类空距离”（ spatial），第二种则是“类时距离”（ temporal）。
类空距离可以转化为普通的空间距离，而类时距离可以转化为普通的时间间隔。但是， 这两种距离一个是实数，一个是虚数，二者之间有一道不可逾越的藩篱，所以它们无法互相转化，正是出于这个原因，我们不能将尺子变成时钟，反过来也不行 。
略
相同：
此为 卢瑟福模型 。
不同：
根据已有的物理学知识，如果原子内部的结构真的和行星系一样，那么它只能维持亿万分之一秒的时间，换句话说，这样的原子旋生旋灭，根本无法长期存在。但是尽管我们从理论上推出了如此悲观的前景，但现实却告诉我们，原子结构非常稳定， 原子内部的电子高高兴兴、不知疲倦地绕着中央的原子核绕圈，绝不损失任何能量，更没有坠落的迹象 ！
电子并不是围绕原子核旋转的，卢瑟福模型不正确。
① 核子 与 电子
尽管已知的物质千姿百态，种类多不胜数，但追根溯源，它们其实都是两种基本粒子的不同组合：1.核子，物质的基本粒子，它可能是电中性的（ 中子 ），也可能携带一个正电荷（ 质子 ）；2. 电子 ，自由负电荷。
其实自然界中的确存在正电子，它和带负电的普通电子十分相似，只是电性相反。带负电的质子也可能存在，只是目前物理学家还没有探测到这种粒子。在我们的物理世界里， 正电子 和 负质子 （如果存在的话）之所以不像负电子和正质子那么常见，是因为这两组粒子互相“拮抗”。大家都知道，如果两个电荷的电性相反，那么它们一旦发生接触就会互相抵消。因此，既然正电子和负电子分别代表正负自由电荷，那么在同一片空间区域中，二者必然无法共存。这样的 湮灭 会在二者相遇的位置产生强烈的电磁辐射（γ 射线），而两个电性相反的电子“湮灭”的过程与强伽马射线看似凭空“创造”一对电子的过程互为镜像。
据我们所知，宇宙中可能存在由反物质构成的行星系，如果将一块来自太阳系的普通石头扔进反星系，或者反之，那么这块石头一落地就会变成原子弹。
② 中微子
中微子的存在是用数学中的“归谬法”反推出来的。这个激动人心的成就并非始于人们发现了什么东西，而是我们发现某些物理过程中少了一些东西。这些“少了的东西”就是能量。
人们一度相信，这是能量守恒定律失效的第一个实验证据，但泡利（Pauli）提出，这种窃取核能量的“巴格达大盗”可能是一种名叫中微子的假想粒子， 它不携带电荷，质量小于普通电子 。
现有的任何物理装置都无法探测到这种不带电的轻粒子， 它能够轻而易举地穿透任何物质 。要阻挡可见光，一层薄薄的金属膜足以胜任；对于穿透力更强的 X 射线和 γ 射线来说，几英寸厚的铅能够显著降低它们的强度；但中微子束却能轻松穿过几光年厚的铅层！难怪我们无论如何都观察不到中微子。
③ 总结 - 粒子之间的转换
中微子能与电子结合，形成我们在宇宙射线中观察到的不稳定的介子，它还有一个不太恰当的名字，“重电子”：
④ 更多
略
略
① 温度与热运动
布朗运动 实际上是物质看不见的热运动造成的结果，而我们通常所说的 温度其实不过是度量分子 热运动 剧烈程度的一种标准。
当温度达到 ?273℃（即 ?459℉）时，即绝对零度，物质分子会完全停止热运动。
而如果温度继续升高，就连分子本身也岌岌可危，因为越来越剧烈的碰撞会将分子撕裂成原子。这种 热离解 过程取决于分子自身的强度。一些有机物分子在几百度的“低温”下就会分解成独立的原子或原子团，但另一些更稳定的分子（例如水）需要一千多度的高温才会溃散。但任何分子都无法在几千度的高温下存活，在这样的高温环境中，物质将变成 纯化学元素组成的气态混合物 。
如果温度升高到几十万甚至几百万度，这种热电离过程就会变得越来越明显。这样极端的高温超过了我们能在实验室里达到的上限，但在恒星尤其是太阳内部却很常见。就连原子也无法在这样的酷热环境中幸存，它的所有外层电子都会被剥夺，物质最终会变成 **的原子核与自由电子组成的混合物 ，电子在空间中高速运动，以极其强大的力量 互相碰撞 。
要利用热彻底分解物质，将原子核拆成独立的核子（质子和中子），我们至少需要几十亿度的高温。虽然我们在最热的恒星内部也没有发现这么高的温度，但它很可能存在于几十亿年前的年轻宇宙中。
② 热运动 与 无序定律
热运动完全无规律的特性正好能用一种新定律来描述，我们称之为无序定律，或者 统计行为定律 。要理解这句拗口的描述，我们不妨看看著名的“ 醉鬼走路 ”问题。
这个式子意味着醉鬼随机转向无数次以后，他与灯柱之间最可能的距离等于他走过的每段直线路程的平均长度乘以线段数量的平方根。
但是如果有大量醉鬼从同一根灯柱的位置出发作随机运动，而且他们互不干扰，那么你会发现，经过足够长的一段时间以后，所有醉鬼将分布在灯柱周围一定的区域内，我们可以利用刚才介绍的方法算出他们与灯柱之间的平均距离。
① 介绍
物理系统中任何自发的过程必然朝着熵增的方向发展，直至最后达到熵最大的平衡态。这就是著名的熵增定律，又叫 热力学第二定律 （第一定律是能量守恒定律），熵增定律又叫 无序度增加定律 。
② 误区
1、生命体的存在似乎完全违反了熵增定律。
植物利用来自阳光的负熵（秩序），以无机化合物为原料构建自己的身体；而动物只能吃掉植物（或者其他动物），靠这种方式来 获得负熵 。
2、
但普通的蒸汽发动机为什么就能将热转化为运动，同时并 不违背熵增定律呢 ？奥秘在于蒸汽发动机利用的只是燃料燃烧产生的一部分能量，更多能量以废气的形式排了出去，或者被专门安装的冷却设备吸收了。在这种情况下，整个系统内的熵发生了两种相反的变化： 1. 部分热量转化为活塞的机械能，这是一个熵减的过程； 2. 锅炉的另一部分热量流入冷却设备，这是一个熵增的过程。 熵增定律要求的只是系统的总熵增加，只要后面这部分增加的熵超过前面那部分减少的熵就行 。
3、
另一个例子可以帮助我们更好地理解熵增定律。假设有个 5 磅重的砝码放在离地 6 英尺的架子上。根据能量守恒原理，这个砝码不可能在没有外力作用的情况下自己跑到天花板上。从另一方面来说，它却有可能将自己的部分重量掷向地板，由此获得能量，让剩余的部分飞上去。同样地， 我们可以允许系统内的局部区域出现熵减，只要其余部分增加的熵足以补偿差 额。换句话说， 我们的确能让系统内部分区域的分子无序运动变得更有序，只要我们不在乎这样的操作会让其他区域的分子运动变得更无序。
① 介绍
微观尺度下空气分子的分布其实并不均匀。如果放大足够的倍数，你会看到 气体 内的分子不断聚成小团，然后很快散开，但其他位置又会出现类似的分子团。这种效应叫作密度涨落。普通 液体 也有密度和压力的涨落效应，只是看起来不那么明显；
② 案例 1 - 为什么天空是蓝的
天空是蓝色的，原因的一部分就是，大气散射一部分来自悬浮的尘埃，大部分则是密度涨落引起的分子散射。
照理说纯净的天空是极均匀的，分子再多也没有“天蓝”。就像一块极平的镜子，只有折射或反射，而极少散射。在均匀一致的环境中，不同分子的散射相互抵消了。但正因为密度涨落效应，导致“空气中有不可消除的‘杂质’，即空气自身的涨落。密度涨落等对阳光的散射，形成了蓝天。
③ 案例 2 - 为什么水烧开会呈乳白色
所以我们可以换一种方式来描述布朗运动：水中的悬浮微粒之所以会被推来挤去，是因为它在不同方向上受到的压力总在快速变化。当液体被加热到临近沸点时，密度涨落变得更加明显，让液体看起来略带乳白色。
生命虽然复杂，但从本质上说，它和普通的物理现象和化学现象并无区别，所以我们很难在生命和非生命之间划出明确的界线。
从周围的介质中撷取原材料，生成类似自身的结构单元。这些病毒微粒既是普通的化学分子，又是生命体，所以它们正是生命和非生命物质之间“缺失的一环”。
基因的确是最小的生物单元（每个独立基因大约由 100 万个原子组成）。 基因似乎是生命和非生命之间缺失的一环 。
① 遗传特征
色盲这一类的遗传特征需要两条染色体都受到影响才会表现出明显的性状，因此我们称之为“ 隐性遗传 特征”。
“ 显性遗传 ”和隐性遗传正好相反，这类遗传特征 只需要一条染色体受到影响就会表现出来 。
除了显性遗传和隐性遗传以外，还有一种“ 中性 ”遗传特征。
当然，就算是在最先进的显微镜下，所有基因看起来还是差不多，它们不同的功能深深隐藏在分子结构内部。
② 其他
但在分裂开始之前，成对的染色体常常纠缠在一起，所以它们有可能产生部分的交换。这样的交叉混合（如图 99a、b 所示）会导致来自父母双方的基因序列发生混淆，从而产生混合的遗传性状。
彼此独立、互不影响的性状在染色体上的位置必然隔得很远。
如果只用一只眼，你很难判断针鼻与线头之间的距离；但要是两只眼睛都睁开，你很容易将线头穿过针鼻，或者至少很容易学会。用两只眼睛观察物体的时候，你会不自觉地让两只眼睛同时聚焦在一件物体上。
你可以试试先闭上一只眼，然后换一只眼，你会发现，物体（在这个例子里就是针）相对于远处背景的位置（比如说房间对面的窗户）发生了变化。这种效应就是 视差位移 .
越远的物体视差位移越小，所以我们可以利用这一点来判断距离 。
1、我们不必真的制造一台能将你的双眼拉开这么远的装置，比如说左眼在华盛顿，右眼在纽约，只需要同时从这两座城市拍摄星空背景上的月亮就行。把这两张照片放到立体镜里。
2、利用地球本身的尺寸测量地球公转轨道的大小
3、利用公转轨道的尺寸来测量恒星的距离（当然，这意味着我们需要等待半年才能完成两次观察，但这又有何不可呢？）
如果更远怎么办呢？
1、基于脉动恒星的测距法
哈佛大学的天文学家哈洛·沙普利（Harlow Shapley）找到了一把能够 测量遥远恒星距离 的新“尺子”，它就是所谓的 脉动恒星 ，或者说造父变星。
如果你发现了一颗距离超过视差位移法测量上限的造父变星，那么你只需要通过望远镜观察，记下它的脉动周期，进而算出它的实际亮度；再比较一下你观察到的亮度和它的实际亮度，你马上就能知道它离你有多远。利用这种巧妙的办法，沙普利成功地测量了银河系内那些非常遥远的距离；估算银河系大体尺寸的时候，这种方法也特别有用。
2、其他
到了这个阶段，我们只能根据星系的可见尺寸来判断它的距离；按照此前的经验，同一类型的所有星系大小都差不多，这一点和恒星很不一样。如果你知道世界上所有人的身高完全相同，既没有高个子也没有小矮人，那么你就能通过自己看到的某人的身高判断他和你之间的距离。
这颗星球的主体至今仍处于熔化状态，我们常常在不经意间提起的“坚固大地”不过是漂浮在熔岩之上的相对较薄的一层硬壳。要证明这件事，最简单的办法莫过于测量地球内部不同深度的温度；于是我们发现， 深度每增加一千米，温度就会上升 30℃ 左右。
在全世界最深的矿井里（南非金矿罗宾逊深井），井壁灼热滚烫，为了避免矿工们被活活烤熟，矿场不得不加装空调 。
实际上，刚刚诞生的地球是一个纯液态的球体，从那以后，它一直在缓慢冷却，现在的我们看到的不过是这颗星球生命历程中的一个特定阶段，而在遥远的未来， 地球终有一天会完全固化 。
《数学家的眼光》讲的不是解某一类数学题的技巧，它告诉读者的是思考数学问题的思路和方法，重在帮助读者全面提高解决数学问题的能力。《数学家的眼光》被中外专家誉为是一部具有世界先进水平的科普佳作。
数学家的眼光和普通人的眼光不同：在常人看来十分繁难的问题，数学家可能觉得很简单；常人觉得相当简单的问题，数学家可能认为非常复杂。 张景中院士从中学生熟悉的问题入手，通俗生动地介绍了数学家是如何从这些简单的问题中，发现并得出不同凡响的结论的。
《数学家的眼光》通过一系列中学生熟悉的“简单的问题”，说明数学家是如何从这些普通的、众所周知的事实出发，步步深入、分析和挖掘出有广泛应用的深刻规律。使读者了解数学家做事、看问题的思路和方法。同时显示出数学的深刻、透彻，能够达到一般讨论所不能达到的地步；又展示了数学家的穷追不舍、孜孜以求的探索真理的治学精神。使读者在读来既轻松、又兴味盎然的情景中了解并慢慢学会解决数学问题的思路和方法。
很早就读过张景中先生的文章和书，尤其是他以“井中”为笔名写的文字。但第一次认识张先生是在1989年，当时应四川省数学会之邀到峨眉山为数学奥林匹克教师培训班授课。空余时间听了张先生的一节课，他给小学教师讲“鸡兔同笼”，印象很深，确有“啊哈，灵机一动！”之感，处理方法通俗、绝妙。
张先生的经历很不简单。他是北京大学的高材生、下放新疆时做过中学老师、在中国科技大学教过少年班、担任过数学奥林匹克国家队教练……也许正是他深厚的数学功底加上这份经历，使他成为最了解、最关心中小学数学教育的国内著名数学家之一。张先生现在是中国科学院院士、中国科普作家协会理事长。
他在繁忙的科研工作之余为青少年撰写了大量广受好评的数学科普作品，中国少年儿童出版社出版的“院士数学讲座专辑”应该是他的代表作了。获全国优秀畅销书奖，全国优秀科普作品一等奖，第六届国家图书奖，第九届“五个一工程”奖。2004年又入选首批新闻出版总署向全国青少年推荐的百种优秀图书。
数学家组成一个群体是他们有共同的思维习惯，张先生把这称为“数学家的眼光”，这个提法好，很平等、易于让人接受。数学家与普通人的区别就在于这种看问题的眼光和角度的不同，而不是别的什么。在中小学开设数学课的目的之一，就是为学生提供一个了解、体会数学家眼光的机会和环境，教师们应切实地意识到这一点。
《数学家的眼光》通过一系列中学生熟悉的“简单的问题”，说明数学家是如何从这些普通的、众所周知的事实出发，步步深入、分析和挖掘出有广泛应用的深刻规律。使读者了解数学家做事、看问题的思路和方法。同时显示出数学的深刻、透彻，能够达到一般讨论所不能达到的地步；又展示了数学家的穷追不舍、孜孜以求的探索真理的治学精神。使读者在读来既轻松、又兴味盎然的情景中了解并慢慢学会解决数学问题的思路和方法。
张先生一直站在科学研究的前沿，为建立“几何定理机器可读性证明的理论”做着出色的工作。可贵的是他善于把他在研究工作中的思想、方法通俗、形象地介绍出来，传达给更多的人。几何定理机器证明的理论基础是“消点法”，说得再简单些就是面积。几何大厦是由一个个漂亮的小屋组成，欧几里德选了一个入口、选了一种路径走遍了每一个小屋。在《新概念几何》中，张先生试图带着大家另选一个入口、另辟蹊径地走一走、逛一逛。
从他的作品中，可以看出张先生对平面几何的情有独钟，可以看出他在整理几何体系时的独到见解。20年前，张先生就提出用“面积方法”处理平面几何问题，现在这套办法已经被很多中学老师和同学掌握，在解决数学奥林匹克问题时的优势尤为明显。平面几何在人的理性思维训练上的意义是独特的，这有点像体育项目中的体能训练。乒乓球运动员是要反复练习发球、接球、削球、抽球这些实用的基本功，但是也要拿出相当多的时间花在练习举重、跑步、耐力等不那么“立竿见影”有用的功夫上，只有有了好的身体素质，才能发挥水平、打好比赛。
应该衷心地感谢张先生的书、感谢他为数学科普所做的工作。也真的希望更多的“张景中”关心、支持、实践这件事，在中国出现几个马丁·加德纳式的人物！
其它：
书名：《离散数学（上）》
清华大学计算机系的教材
离散数学（discrete mathematics)是计算机科学基础理论的核心课程。它包括数理逻辑、**论、代数结构、图论、形式语言、自动机和计算**等。
第一章 命题逻辑的基本概念
第一节 命题
一、什么是命题
命题是一个非真即假的陈述句。
1）命题是一个陈述句。
2）该陈述句表达的内容非真即假。
我们把这样的命题逻辑成为二值逻辑，把以这样命题作为研究对象的逻辑成为古典逻辑。
二、命题变量
我们约定用大写字母表示命题，用小写字母表示命题变量。命题是指具体的陈述句，是有确定的真值；而命题变量的真值不定，只当将某个具体命题代入命题变量时，命题变量化为命题，方可确定其真值。
三、简单命题和复合命题
不能分解成更简单的命题的组合的命题称为简单命题。它又称原子命题，它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题。
把一个或者几个简单命题用联结词（如与、或、非联结所构成的命题称为复合命题，也称为分子命题。
第二节 命题联结词及真值表
联结词分为两类：
1）真值联结词，由此联结词构成的复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假决定。
2）非真值联结词，由此联结词构成的复合命题的真假不完全由构成它的简单命题的真假来确定。
一、否定词 ┑
否定词“┑”是个一元联结词。一个命题P加上否定词就构成了一个新的命题。记作 ┑P,这个新命题是命题P的否定，读作 非P
命题P与命题非P的真假是互异的。
二、合取词 ∧
合取词“∧”是个二元命题联结词。合取词将两个命题P、Q联结起来，构成一个新命题P∧Q，读作P、Q的合取，也可读作P与Q。其中P、Q可以是简单命题，也可以是复合命题。
只有P、Q都为真时，P与Q才为真，否则为假。
即：
P=T
Q=T
P∧Q=T
三、析取词 ∨
析取词“∨”是个二元命题联结词，将两个命题P、Q联结起来，构成一个新命题P∨Q，读作P、Q的析取，也读作P或Q.
只有P、Q都为假（F）时，P∨Q才为假，否则P∨Q为真。
即：
P=F
Q=F
P∨Q=F
四、蕴涵词 →
蕴涵词“→”也是个二元命题联结词，将两个命题P、Q联结起来，构成一个新命题P→Q，读作如果P则Q，或读作P蕴涵Q，如果P那么Q。其中P称前件（前项，条件），Q称后件（后项，结论）。
规定只有当P为真而Q为假时，P→Q=F,否则P→Q=T
即：
P=T
Q=F
P→Q=F
P→Q=T下，若P=T必有Q=T,这表明P→Q体现了P是Q成立的充分条件。
P→Q下，若P=F可有Q=T,这表明P→Q体现了P不必是Q成立的必要条件。
P→Q的真值表
P Q P→Q
F F T
F T T
T F F
T T T
┑P∨Q的真值表
P Q ┑P∨Q
F F T
F T T
T F F
T T T
在P、Q的所有取值下，P→Q同┑P∨Q都有相同的真值
即：P→Q=┑P∨Q
真值相同的等值命题以等号联结。这说明→可由┑、∨来表示，从逻辑上看“如果P则Q”同“非P或Q”是等同的两个命题。
五、双条件词 =
双条件词“=”（有的书中用的是双箭头号表示）同样是个二元命题联结词，将两个命题P、Q联结起来构成新命题P=Q,读作P当且仅当Q或P等值Q.
只有当两个命题P、Q的真值相同时，P=Q的真值方为T
P=Q的真值表
P Q P=Q
F F T
F T F
T F F
T T T
第三节 合式公式（简称为公式）
合式公式定义：
1.简单命题是合式公式
2.如果A是合式公式，那么┑A也是合式公式
3.如果A、B是合式公式，那么（A∧B)、（A∨B）、（A→B）、（A=B） 也是合式公式
4.当且仅当经过有限次地使用1，2，3所组成的符号串才是合式公式。
约定联结词按┑、∨、∧、→、=的排列次序安排优先的级别。
第四节 重言式
一、定义
命题公式中有一类重言式，如果一个公式，对于它的任一解释I其真值都为真，就称其为重言式（永真式）。如P∨┑P是重言式。
显然，由∨、∧、→、=联结的重言式仍是重言式。
一个公式，如有某个解释I0，在I0下该公式真值为真，则称其是可满足的。
如果一个公式，对于它的任一解释I其真值都为假，就称其为永假式（矛盾式）或不可满足的。如P∧┑P就是矛盾式
这三类公式的关系：
1.公式A永真，当且仅当┑A永假
2.公式A可满足，当且仅当┑A非永真
3.不是可满足的公式必永假
4.不是永假的公式必可满足
二、代入规则
A是一个公式，对A使用代入规则得公式B，若A是重言式，则B也是重言式。
为保证重言式经代入规则仍得到保存，要求：
1.公式中被代换的只能是原子命题，而不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代入，必须对该公式中出现的所有同一命题变项代换同一公式。
第五节 简单自然语句的形式化
一、简单自然语句的形式化
二、较复杂自然语句的形式化
第六节 波兰表达式
一、计算机识别括号的过程
合式公式的定义中使用的是联结词的中缀表示，又引入括号以便区分运算次序，这些是人们常用的方法。
计算机识别处理这样表示的公式的方法，需要反复自左向右，自右向左的扫描。如对公式
(P∨(Q∧R))∨(S∧T)
真值的计算过程，开始从左向右扫描，至发现第一个右半括号为止，便返回至最近的左半括号，得部分公式（Q∧R）方可计算真值，随后又向右扫描，至发现第二个右半括号，便返回至第二个左半括号，于是得部分公式(P∨(Q∧R))并计算真值，重复这个过程直至计算结束。
二、波兰式
一般地说，使用联结词构成公式有三种方式，中缀式如P∨Q，前缀式如∨PQ，后缀式如PQ∨
前缀式用于逻辑学是波兰的数理逻辑学家J. Lukasiewicz提出的, 称之为波兰表示式。
如将公式(P∨(Q∧R))∨(S∧T)的这种中辍表示化成波兰式，可由内层括号逐步向外层脱开（或由外层向里逐层脱开）的办法
公式(P∨(Q∧R))∨(S∧T)的波兰式表示：
∨P∧∨QRS
以波兰式表达的公式，由计算机识别处理的过程，当自右向右扫描时可以一次完成，避免了重复扫描。同样后辍表示（逆波兰式）也有同样的优点，而且自左向右一次扫描（看起来更合理）使可识别处理一个公式，很是方便，常为计算机的程序系统所采用，只不过这种表示的公式，人们阅读起来不大习惯。
数学小丛书》
中国的数学科普书籍，不乏一些经典之作，有些更是传世精品，可惜大部分印数不多，基本上不超过5000册，有些经典已不再版，令喜欢数学的人一书难求。
近年非常可喜的一件事是，上世纪六十年代出版的，由数学**和著名数学家撰写的《数学小丛书》，2002年由科学出版社结集重新出版。
在这套丛书18小分册中，华罗庚一人就写了5本小册子——《从杨辉三角谈起》、《从祖冲之的圆周率谈起》、《从孙子的“神奇妙算”谈起》、《数学归纳法》、《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》，篇篇锦绣，字字珠玑！华老的科普文章有一大特色，即创造性。在这种科普小文中，他依然能在一些问题上有自己独创性的思考。比如《数学归纳法》中对李善兰恒等式的证明。 这里面流传着一个故事：50年代初，匈牙利著名数学家Paul Turán (他发现了图论中著名的图兰定理)来华访问，在华罗庚所在的数学研究所做了一个报告，报告中他对来自清末数学家的一项数学发现——李善兰恒等式给出了一个证明。这本是中国人发现的定理，证明却不是中国人。华罗庚作为一个中国数学家，深具民族自尊心，回到住所他冥思苦想，终于在天明前给出了该恒等式的另一证明。天明一早，在他送别Paul Turán时，给了Turán一张纸条，Turán一看，发现那是华罗庚对李善兰恒等式的一个简洁证明，相较于他要用到一些高等数学的证明而言，显得非常的初等而漂亮！不知当时Turán什么反应，我想至少不得不佩服中国人的智慧吧。
传承这种科普文章风格的现在有张景中院士，他的《数学家的眼光》(2007增补版)，对微积分的基础做出了非常别致的思考。该书被一些数学家推崇备至，甚至得到陈省身的赏识，陈省身在致张景中的信中，建议该书译成外文出版。张景中的其他数学科普书籍一样精彩，有《帮你学数学》、《漫话数学》、《数学杂谈》、《从根号2谈起》、《新概念几何》、《从数学教育到教育数学》、《数学与哲学》等等，这些书被辑成《院士数学讲座专辑》由中国少年儿童出版社出版。张景中还主编了一套《好玩的数学》，这两套书籍有的十分适合小学初中的学生来看。
华罗庚的这些小册子影响比较大，丘成桐中学时代学习数学时，就得益于华老的这些科普书籍。科学时报《丘成桐：青年学子要培养为学问而学问的态度》中记者描述：因家境贫寒，中学时，丘成桐买不起书，就到图书馆和书店去看书，数学家华罗庚的书让他受益良多：“我们那时的书很少，主要看祖国大陆出版的书，因为大陆的书很便宜，我至少读了15本华罗庚先生的书，如《数论分析》和《数论导论》等，这些书的内容都漂亮极了。也看了陈明哲写的一些小册子。所以，我比课程早一个学期做完所有的习题，听数学课成为一种享受。” 华罗庚的这些小册子及他的一些文章曾被汇编为《华罗庚科普著作选集》，由上海教育出版社在80年代出版。最近被分为两册：《聪明在于勤奋天才在于积累:数学**华罗庚谈怎样学好数学》和《从孙子的神奇妙算谈起:数学**华罗庚献给中学生的礼物》，由中国少年儿童出版社重新出版。但有一些篇章没有收录，比如非常精妙的《有限与无穷，离散与连续》。
关于如何学习数学，我个人觉得华罗庚的《聪明在于勤奋天才在于积累》，是不二之选。华罗庚本身就是自学成才，关于如何读书和研究，自有一套独到方法。他的这些文章，虽然带上了一些时代的烙印，但去除那些政治上的东西，个人认为那些文章可称得上数学学习圣经了。同样内容的书换个书名《华罗庚：下棋找高手》，也被中国人民***出版社再版。
数学小丛书里还有吴文俊的《力学在几何中的一些应用》，段学复《对称》，史济怀《平均》，闵嗣鹤《格点和面积》，姜伯驹《一笔画和邮递路线问题》，龚升《从刘徽割圆谈起》，范会国《几种类型的极值问题》，蔡宗熹《等周问题》，江泽涵《多面形的欧拉定理和闭曲面的拓扑分类》，常庚哲、伍润生《复数与几何》，柯召、孙琦《单位分数》，虞言林、虞琪《祖冲之算pi之谜》，冯克勤《费马猜想》。
我注意到，这些传世名篇居然还需要数学天元基金的资助，才得以再版，令人唏嘘。
丘成桐所说的华罗庚的两本书《数论分析》和《数论导论》，我想是记者记错了，应该是《数论导引》和《高等数学引论》吧。丘成桐进入大学前，数学水平就相当高了。**向来是直接向**学习！